Применения свойств арифметического квадратного корня

Применение свойств арифметического квадратного корня

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Как отличить простую усталость от профессионального выгорания?

Можно ли избежать переутомления?

Выбранный для просмотра документ ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМИТИЧСЕКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ.docx

Не пытайтесь объяснить ребёнку то,
до чего он может додуматься сам.
Давайте возможность каждому ребёнку
сделать своё маленькое открытие

Тема урока : Применение свойств арифметического квадратного корня.

Получение способа вынесения множителя из-под знака корня.

Получение способа внесения множителя под знак корня.

Тип урока : Постановочный урок – получение способов.

Способы внесения под знак корня и вынесения из-под знака корня, представленные в виде знаковых моделей.

Первичный контроль над применением полученных способов.

Организационный момент. Запись домашнего задания (п.17 № 403, № 411).

Тренажёр (набор отработочных заданий по теме «Арифметический квадратный корень»)

Время проведения: 3 минуты. Критерии оценки (по количеству правильных ответов):

Для оперативной проверки результатов выполнения тренажёров каждому ученику выдаётся индивидуальный лист ответов, а после проведения работы – лист правильных ответов. Тексты тренажёра и листов ответов прилагаются (см. приложение 1).

Проверку результатов осуществляют сами учащиеся, работая в парах. Оценивают друг друга, руководствуясь критерием.

:

В заданиях 8–13 “спрятана проблема”– корни из предложенных чисел не извлекаются. Поняв, что обычный способ сравнения выражений не подходит, учащиеся начинают искать новые пути решения. Это удаётся не сразу. Задания 8 –13 выполняют не по порядку, а выбирают то, решение которого наметили. Для 8А таким ключевым стало задание № 11.

Дима М. предлагает “разбить” число 99 на множители 9 и 11 и, используя свойства арифметического квадратного корня, извлечь корень только из числа 9, а 11 оставить под знаком корня. Учащиеся примеряют предложенный Димой вариант решения на остальные задания.

Анализируем свою работу, отвечая на вопросы:

а) Почему не смогли сразу сделать задания 8–13?

б) Чем задания 8–13 отличаются от предыдущих?

в) Почему смогли выполнить задания 8–13?

Составление схемы – модели способа.

Задание №1: Придумайте подобные задания (варианты ответов на доске (3, 4) – обсуждение).

Задание №2: Составьте схему полученного способа.

Артём Ф. предлагает такой вариант:

Эта схема берётся за основную. Учащимся сообщается, что такая операция над числами в алгебре носит название “вынесение множителя из-под знака корня”.

Выполнение задания № 401 по учебнику “Алгебра–8”.

Задания выполняются по цепочке, начиная с третьего ряда (одно выражение – один ученик), с комментированием. Перед началом работы с учащимися обсуждаем, для чего выполнять этот номер. Настя Е. формулирует цель выполнения: “Для того, чтобы проверить, как работает новый способ, чтобы каждый научился его применять”.

Выполнение задания № 404 по учебнику “Алгебра–8”.

Предлагаю учащимся прочитать задание номера и ответить на вопрос: “Чем это задание отличается от предыдущего?”. Учащиеся сразу видят изменение ситуации. Регина С. поясняет: “В задании № 401 предлагалось вынести множитель из-под знака корня, а в задании № 404 предлагается внести множитель под знак корня. Я думаю, что это “обратный ход”. Класс с Региной согласен. Выполняем по цепочке, начиная со второго ряда. Первым работает у доски Антон Д. и называет эту операцию “возвращением числа под корень”.

Обучающий тест. У всех один вариант. Время выполнения 17 минут.

Текст теста, ключи – ответы к нему, критерии оценки прилагаются (см. приложение 2).

Для тех, кто на выполнение теста затрачивает меньше времени, предлагается дополнительная карточка из десяти занимательных заданий. Текст прилагается (см. приложение 3).

Подведение итогов урока.

Отвечаем на вопросы:

1) Какие способы работы с арифметическим квадратным корнем получили?

2) Как по-другому можно сформулировать тему сегодняшнего урока?

3) На основании каких свойств можно выполнять внесение множителя под знак корня, вынесение множителя из-под знака корня?

Находки урока (понятийные термины):

– “разбить на множители”.

Выбранный для просмотра документ приложение 1.doc

П р и л о ж е н и е 1.

Тренажёр по теме “Арифметический квадратный корень”.

Выбранный для просмотра документ приложение 2.doc

П р и л о ж е н и е 2

а) Тест по теме “Применение свойств арифметического квадратного корня”

Тест: Применение свойств арифметического квадратного корня Алгебра – 8

В заданиях 1 – 5

вынесите множитель из-под знака корня

В заданиях 6 – 10

внесите множитель под знака корня

1. А. ; В. ; С. .

2 . А. ; В. ; С. .

3. А. ; В. ; С. .

4. А. ; В. ; С. .

5. А. – 4 ; В. ; С. .

Свойства корней: формулировки, доказательства, примеры

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства n -ой степени.

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах .

  1. Свойство умноженных чисел a и b , которое представляется как равенство a · b = a · b . Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
  2. из частного a : b = a : b , a ≥ 0 , b > 0 , он также может записываться в таком виде a b = a b ;
  3. Свойство из степени числа a с четным показателем a 2 · m = a m при любом числе a , например, свойство из квадрата числа a 2 = a .

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a · b = a · b трансформируется как a · b = a · b . Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a · b = a · b . Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a · b – число, положительное или равное нулю, которое будет равно a · b при возведении в квадрат. Значение выражения a · b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде ( a · b ) 2 = a 2 · b 2 . По определению квадратного корня a 2 = a и b 2 = b , то a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b .

Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a 1 , a 2 , … , a k будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Из этого равенства следует, что a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5 , 4 , 2 · 13 1 2 = 4 , 2 · 13 1 2 и 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 ( 1 ) = 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 ( 1 ) .

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a : b = a : b , a ≥ 0 , b > 0 . Свойство позволяет записать равенство a : b 2 = a 2 : b 2 , а a 2 : b 2 = a : b , при этом a : b является положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, 0 : 16 = 0 : 16 , 80 : 5 = 80 : 5 и 3 0 , 121 = 3 0 , 121 .

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенства как a 2 = a Чтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a ≥ 0 и при a 0 .

Очевидно, что при a ≥ 0 справедливо равенство a 2 = a . При a 0 будет верно равенство a 2 = – a . На самом деле, в этом случае − a > 0 и ( − a ) 2 = a 2 . Можно сделать вывод, a 2 = a , a ≥ 0 – a , a 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров.

5 2 = 5 = 5 и – 0 , 36 2 = – 0 , 36 = 0 , 36 .

Доказанное свойство поможет дать обоснование a 2 · m = a m , где a – действительное, а m –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень a 2 · m выражением ( a m ) 2 , тогда a 2 · m = ( a m ) 2 = a m .

3 8 = 3 4 = 3 4 и ( – 8 , 3 ) 14 = – 8 , 3 7 = ( 8 , 3 ) 7 .

Свойства корня n-ой степени

Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней n -ой степени:

  1. Свойство из произведения чисел a и b , которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства a · b n = a n · b n , данное свойство справедливо для произведения k чисел a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
  2. из дробного числа обладает свойством a b n = a n b n , где a – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а b – положительное действительное число;
  3. При любом a и четных показателях n = 2 · m справедливо a 2 · m 2 · m = a , а при нечетных n = 2 · m − 1 выполняется равенство a 2 · m – 1 2 · m – 1 = a .
  4. Свойство извлечения из a m n = a n · m , где a – любое число, положительное или равное нулю, n и m – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде . . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
  5. Для любого неотрицательного a и произвольных n и m , которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство a m n · m = a n ;
  6. Свойство степени n из степени числа a , которое положительно или равно нулю, в натуральной степени m , определяемое равенством a m n = a n m ;
  7. Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел a и b таких, что a b , выполняется неравенство a n b n ;
  8. Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми числами под корнем: если m и n – натуральные числа, что m > n , тогда при 0 a 1 справедливо неравенство a m > a n , а при a > 1 выполняется a m a n .

Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.

Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.

  1. Первым делом докажем свойства корня n -ой степени из произведения a · b n = a n · b n . Для a и b , которые являются положительными или равными нулю, значение a n · b n также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство a n · b n n = a n n · b n n . По определению корня n -ой степени a n n = a и b n n = b , следовательно, a n · b n n = a · b . Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a 1 , a 2 , … , a n выполняется a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Приведем примеры использования свойства корня n -ой степени из произведения: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 и 8 , 3 4 · 17 , ( 21 ) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8 , 3 · 17 , ( 21 ) · 3 · 5 7 4 .

  1. Докажем свойство корня из частного a b n = a n b n . При a ≥ 0 и b > 0 выполняется условие a n b n ≥ 0 , а a n b n n = a n n b n n = a b .
Читайте также:  Масло черного тмина свойства и применение

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2 , 3 10 : 2 3 10 = 2 , 3 : 2 3 10 .

  1. Для следующего шага необходимо доказать свойства n -ой степени из числа в степени n . Представим это в виде равенства a 2 · m 2 · m = a и a 2 · m – 1 2 · m – 1 = a для любого действительного a и натурального m . При a ≥ 0 получаем a = a и a 2 · m = a 2 · m , что доказывает равенство a 2 · m 2 · m = a , а равенство a 2 · m – 1 2 · m – 1 = a очевидно. При a 0 получаем соответственно a = – a и a 2 · m = ( – a ) 2 · m = a 2 · m . Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство a 2 · m 2 · m = a , а a 2 · m – 1 2 · m – 1 = a будет справедливо, так как за нечетной степени рассматривается – c 2 · m – 1 = – c 2 · m – 1 для любого числа c , положительного или равного нулю.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:

7 4 4 = 7 = 7 , ( – 5 ) 12 12 = – 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 и ( – 3 , 39 ) 5 5 = – 3 , 39 .

  1. Докажем следующее равенство a m n = a n · m . Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами a n · m = a m n . Это будет означать верная запись . Для a , которое является положительным или равно нулю, из вида a m n является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению . С их помощью можно преобразовать равенства в виде a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Например, 7 3 5 = 7 5 · 3 и 0 , 0009 6 = 0 , 0009 2 · 2 · 6 = 0 , 0009 24 .

  1. Докажем следующее свойство a m n · m = a n . Для этого необходимо показать, что a n – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень n · m равно a m . Если число a является положительным или равным нулю, то n -ой степени из числа a является числом положительным или равным нулю При этом a n · m n = a n n m , что и требовалось доказать.

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров

  1. Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида a m n = a n m . Очевидно, что при a ≥ 0 степень a n m является неотрицательным числом. Более того, ее n -ая степень равна a m , действительно, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

  1. Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел a и b выполнено условие a b . Рассмотрим неравенство a n b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a b . Следовательно, a n b n при a b .

Для примера приведем 12 4 15 2 3 4 .

  1. Рассмотрим свойство корня n -ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При m > n и 0 a 1 справедливо a m > a n . Предположим, что a m ≤ a n . Свойства позволят упростить выражение до a n m · n ≤ a m m · n . Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n , то есть, a n ≤ a m . Полученное значение при m > n и 0 a 1 не соответствует свойствам, приведенным выше.

Таким же способом можно доказать, что при m > n и a > 1 справедливо условие a m a n .

Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.

Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

Готовиться с нами – ЛЕГКО!

Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b) , при возведении которого в квадрат мы получим число (a) : [sqrt a=bquad text<то же самое, что >quad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0) .
(bullet) Чему равен (sqrt<25>) ? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt<25>=5) (так как (25=5^2) ).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a) , а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt<-25>) , (sqrt<-4>) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20) : [begin <|ll|>hline 1^2=1 & quad11^2=121 \ 2^2=4 & quad12^2=144\ 3^2=9 & quad13^2=169\ 4^2=16 & quad14^2=196\ 5^2=25 & quad15^2=225\ 6^2=36 & quad16^2=256\ 7^2=49 & quad17^2=289\ 8^2=64 & quad18^2=324\ 9^2=81 & quad19^2=361\ 10^2=100& quad20^2=400\ hline end]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt<25>+sqrt<49>) , то первоначально вы должны найти значения (sqrt<25>) и (sqrt<49>) , а затем их сложить. Следовательно, [sqrt<25>+sqrt<49>=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt 2+ sqrt <49>) мы можем найти (sqrt<49>) – это (7) , а вот (sqrt 2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt<49>=sqrt 2+7) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя (bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrtquad text<и>quad sqrt a:sqrt b=sqrt] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrt<32>cdot sqrt 2=sqrt<32cdot 2>=sqrt<64>=8) ; (sqrt<768>:sqrt3=sqrt<768_3>=sqrt<256>=16) ; (sqrt<(-25)cdot (-64)>=sqrt<25cdot 64>=sqrt<25>cdot sqrt<64>= 5cdot 8=40) . (bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt<44100>) . Так как (44100:100=441) , то (44100=100cdot 441) . По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49) , то есть (441=9cdot 49) .
Таким образом, мы получили: [sqrt<44100>=sqrt<9cdot 49cdot 100>= sqrt9cdot sqrt<49>cdot sqrt<100>=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt<27>>= sqrt<9cdot 3>>= sqrt< dfrac<16cdot4cdot49><9>>=dfraccdot sqrt4 cdot sqrt<49>>=dfrac<4cdot 2cdot 7>3=dfrac<56>3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot sqrt2) ). Так как (5=sqrt<25>) , то [5sqrt2=sqrt<25>cdot sqrt2=sqrt<25cdot 2>=sqrt<50>] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2) ,
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a) . Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a) , то есть (4sqrt2) .

Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt <> ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2) , поэтому (sqrt<16>=4) . А вот извлечь корень из числа (3) , то есть найти (sqrt3) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt<15>) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14) ), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7) ) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|) , равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3) .
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a) .
Пример: (|5|=5) ; (qquad |sqrt2|=sqrt2) . (bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a) .
Пример: (|-5|=-(-5)=5) ; (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|) . (bullet) Имеют место следующие формулы: [=|a|>>] [>, text < при условии >ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1) . Тогда (sqrt<(-1)^2>=sqrt<1>=1) , а вот выражение ((sqrt <-1>)^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt) не равен ((sqrt a)^2) ! Пример: 1) (sqrt=|-sqrt2|=sqrt2) , т.к. (-sqrt2 ;

(phantom<00000>) 2) ((sqrt<2>)^2=2) . (bullet) Так как (sqrt=|a|) , то [sqrt>=|a^n|] (выражение (2n) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) (sqrt<4^6>=|4^3|=4^3=64)
2) (sqrt<(-25)^2>=|-25|=25) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен (-25) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt>=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(bullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a , то (a ; если (sqrt a=sqrt b) , то (a=b) .
Пример:
1) сравним (sqrt<50>) и (6sqrt2) . Для начала преобразуем второе выражение в (sqrt<36>cdot sqrt2=sqrt<36cdot 2>=sqrt<72>) . Таким образом, так как (50 , то и (sqrt <50>. Следовательно, (sqrt <50>.
2) Между какими целыми числами находится (sqrt<50>) ?
Так как (sqrt<49>=7) , (sqrt<64>=8) , а (49 , то (7 , то есть число (sqrt<50>) находится между числами (7) и (8) .
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5) . Предположим, что (sqrt2-1>0,5) : [begin &sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text<(прибавим единицу к обеим частям)>\[1ex] &sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext<(возведем обе части в квадрат)>\[1ex] &2>1,5^2\ &2>2,25 end] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1 .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3 нельзя (убедитесь в этом сами)! (bullet) Следует запомнить, что [begin &sqrt 2approx 1,4\[1ex] &sqrt 3approx 1,7 end] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! (bullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем (sqrt<28224>) . Мы знаем, что (100^2=10,000) , (200^2=40,000) и т.д. Заметим, что (28224) находится между (10,000) и (40,000) . Следовательно, (sqrt<28224>) находится между (100) и (200) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между (120) и (130) ). Также из таблицы квадратов знаем, что (11^2=121) , (12^2=144) и т.д., тогда (110^2=12100) , (120^2=14400) , (130^2=16900) , (140^2=19600) , (150^2=22500) , (160^2=25600) , (170^2=28900) . Таким образом, мы видим, что (28224) находится между (160^2) и (170^2) . Следовательно, число (sqrt<28224>) находится между (160) и (170) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце (4) ? Это (2^2) и (8^2) . Следовательно, (sqrt<28224>) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем (162^2) и (168^2) :
(162^2=162cdot 162=26224)
(168^2=168cdot 168=28224) .
Следовательно, (sqrt<28224>=168) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, – на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Применение свойств арифметического квадратного корня.
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Разработка урока в 8 классе с элементами проблемного обучения

Скачать:

ВложениеРазмер
primenenie_svoystv_arifmeticheskogo_kvadratnogo_kornya.docx44.16 КБ

Предварительный просмотр:

Не пытайтесь объяснить ребёнку то,
до чего он может додуматься сам.
Давайте возможность каждому ребёнку
сделать своё маленькое открытие
Э.И. Александрова.

Тема урока : Применение свойств арифметического квадратного корня.

  • Получение способа вынесения множителя из-под знака корня.
  • Получение способа внесения множителя под знак корня.

Тип урока : Постановочный урок – получение способов.

  • Способы внесения под знак корня и вынесения из-под знака корня, представленные в виде знаковых моделей.
  • Первичный контроль над применением полученных способов.
  1. Организационный момент . Запись домашнего задания (п.17 № 403, № 411).
  2. Тренажёр (набор отработочных заданий по теме «Арифметический квадратный корень»)

Время проведения: 3 минуты. Критерии оценки (по количеству правильных ответов):

от 0 – 10 прав. ответов

от 11 – 17 прав. ответов

от 18 – 24 прав. ответов

Для оперативной проверки результатов выполнения тренажёров каждому ученику выдаётся индивидуальный лист ответов, а после проведения работы – лист правильных ответов. Тексты тренажёра и листов ответов прилагаются (см. приложение 1).

Проверку результатов осуществляют сами учащиеся, работая в парах. Оценивают друг друга, руководствуясь критерием.

В заданиях 8–13 “спрятана проблема”– корни из предложенных чисел не извлекаются. Поняв, что обычный способ сравнения выражений не подходит, учащиеся начинают искать новые пути решения. Это удаётся не сразу. Задания 8 –13 выполняют не по порядку, а выбирают то, решение которого наметили. Для 8А таким ключевым стало задание № 11.

Дима М. предлагает “разбить” число 99 на множители 9 и 11 и, используя свойства арифметического квадратного корня, извлечь корень только из числа 9, а 11 оставить под знаком корня. Учащиеся примеряют предложенный Димой вариант решения на остальные задания.

Анализируем свою работу, отвечая на вопросы:

а) Почему не смогли сразу сделать задания 8–13?

б) Чем задания 8–13 отличаются от предыдущих?

в) Почему смогли выполнить задания 8–13?

  1. Составление схемы – модели способа.

Задание № 1 : Придумайте подобные задания (варианты ответов на доске (3, 4) – обсуждение).

Задание № 2 : Составьте схему полученного способа.

Артём Ф. предлагает такой вариант:

Эта схема берётся за основную. Учащимся сообщается, что такая операция над числами в алгебре носит название “вынесение множителя из-под знака корня”.

  1. Выполнение задания № 401 по учебнику “Алгебра–8”.

Задания выполняются по цепочке, начиная с третьего ряда (одно выражение – один ученик), с комментированием. Перед началом работы с учащимися обсуждаем, для чего выполнять этот номер. Настя Е. формулирует цель выполнения: “Для того, чтобы проверить, как работает новый способ, чтобы каждый научился его применять”.

  1. Выполнение задания № 404 по учебнику “Алгебра–8”.

Предлагаю учащимся прочитать задание номера и ответить на вопрос: “Чем это задание отличается от предыдущего?”. Учащиеся сразу видят изменение ситуации. Регина С. поясняет: “В задании № 401 предлагалось вынести множитель из-под знака корня, а в задании № 404 предлагается внести множитель под знак корня. Я думаю, что это “обратный ход”. Класс с Региной согласен. Выполняем по цепочке, начиная со второго ряда. Первым работает у доски Антон Д. и называет эту операцию “возвращением числа под корень”.

  1. Обучающий тест. У всех один вариант. Время выполнения 17 минут.

Текст теста, ключи – ответы к нему, критерии оценки прилагаются (см. приложение 2).

Для тех, кто на выполнение теста затрачивает меньше времени, предлагается дополнительная карточка из десяти занимательных заданий. Текст прилагается (см. приложение 3).

Отвечаем на вопросы:

1) Какие способы работы с арифметическим квадратным корнем получили?

2) Как по-другому можно сформулировать тему сегодняшнего урока?

3) На основании каких свойств можно выполнять внесение множителя под знак корня, вынесение множителя из-под знака корня?

Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

Готовиться с нами – ЛЕГКО!

Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b) , при возведении которого в квадрат мы получим число (a) : [sqrt a=bquad text<то же самое, что >quad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0) .
(bullet) Чему равен (sqrt<25>) ? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt<25>=5) (так как (25=5^2) ).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a) , а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt<-25>) , (sqrt<-4>) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20) : [begin <|ll|>hline 1^2=1 & quad11^2=121 \ 2^2=4 & quad12^2=144\ 3^2=9 & quad13^2=169\ 4^2=16 & quad14^2=196\ 5^2=25 & quad15^2=225\ 6^2=36 & quad16^2=256\ 7^2=49 & quad17^2=289\ 8^2=64 & quad18^2=324\ 9^2=81 & quad19^2=361\ 10^2=100& quad20^2=400\ hline end]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt<25>+sqrt<49>) , то первоначально вы должны найти значения (sqrt<25>) и (sqrt<49>) , а затем их сложить. Следовательно, [sqrt<25>+sqrt<49>=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt 2+ sqrt <49>) мы можем найти (sqrt<49>) – это (7) , а вот (sqrt 2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt<49>=sqrt 2+7) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя (bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrtquad text<и>quad sqrt a:sqrt b=sqrt] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrt<32>cdot sqrt 2=sqrt<32cdot 2>=sqrt<64>=8) ; (sqrt<768>:sqrt3=sqrt<768_3>=sqrt<256>=16) ; (sqrt<(-25)cdot (-64)>=sqrt<25cdot 64>=sqrt<25>cdot sqrt<64>= 5cdot 8=40) . (bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt<44100>) . Так как (44100:100=441) , то (44100=100cdot 441) . По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49) , то есть (441=9cdot 49) .
Таким образом, мы получили: [sqrt<44100>=sqrt<9cdot 49cdot 100>= sqrt9cdot sqrt<49>cdot sqrt<100>=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt<27>>= sqrt<9cdot 3>>= sqrt< dfrac<16cdot4cdot49><9>>=dfraccdot sqrt4 cdot sqrt<49>>=dfrac<4cdot 2cdot 7>3=dfrac<56>3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot sqrt2) ). Так как (5=sqrt<25>) , то [5sqrt2=sqrt<25>cdot sqrt2=sqrt<25cdot 2>=sqrt<50>] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2) ,
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a) . Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a) , то есть (4sqrt2) .

Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt <> ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2) , поэтому (sqrt<16>=4) . А вот извлечь корень из числа (3) , то есть найти (sqrt3) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt<15>) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14) ), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7) ) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|) , равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3) .
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a) .
Пример: (|5|=5) ; (qquad |sqrt2|=sqrt2) . (bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a) .
Пример: (|-5|=-(-5)=5) ; (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|) . (bullet) Имеют место следующие формулы: [=|a|>>] [>, text < при условии >ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1) . Тогда (sqrt<(-1)^2>=sqrt<1>=1) , а вот выражение ((sqrt <-1>)^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt) не равен ((sqrt a)^2) ! Пример: 1) (sqrt=|-sqrt2|=sqrt2) , т.к. (-sqrt2 ;

(phantom<00000>) 2) ((sqrt<2>)^2=2) . (bullet) Так как (sqrt=|a|) , то [sqrt>=|a^n|] (выражение (2n) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) (sqrt<4^6>=|4^3|=4^3=64)
2) (sqrt<(-25)^2>=|-25|=25) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен (-25) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt>=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(bullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a , то (a ; если (sqrt a=sqrt b) , то (a=b) .
Пример:
1) сравним (sqrt<50>) и (6sqrt2) . Для начала преобразуем второе выражение в (sqrt<36>cdot sqrt2=sqrt<36cdot 2>=sqrt<72>) . Таким образом, так как (50 , то и (sqrt <50>. Следовательно, (sqrt <50>.
2) Между какими целыми числами находится (sqrt<50>) ?
Так как (sqrt<49>=7) , (sqrt<64>=8) , а (49 , то (7 , то есть число (sqrt<50>) находится между числами (7) и (8) .
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5) . Предположим, что (sqrt2-1>0,5) : [begin &sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text<(прибавим единицу к обеим частям)>\[1ex] &sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext<(возведем обе части в квадрат)>\[1ex] &2>1,5^2\ &2>2,25 end] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1 .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3 нельзя (убедитесь в этом сами)! (bullet) Следует запомнить, что [begin &sqrt 2approx 1,4\[1ex] &sqrt 3approx 1,7 end] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! (bullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем (sqrt<28224>) . Мы знаем, что (100^2=10,000) , (200^2=40,000) и т.д. Заметим, что (28224) находится между (10,000) и (40,000) . Следовательно, (sqrt<28224>) находится между (100) и (200) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между (120) и (130) ). Также из таблицы квадратов знаем, что (11^2=121) , (12^2=144) и т.д., тогда (110^2=12100) , (120^2=14400) , (130^2=16900) , (140^2=19600) , (150^2=22500) , (160^2=25600) , (170^2=28900) . Таким образом, мы видим, что (28224) находится между (160^2) и (170^2) . Следовательно, число (sqrt<28224>) находится между (160) и (170) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце (4) ? Это (2^2) и (8^2) . Следовательно, (sqrt<28224>) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем (162^2) и (168^2) :
(162^2=162cdot 162=26224)
(168^2=168cdot 168=28224) .
Следовательно, (sqrt<28224>=168) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, – на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Загрузка ...
Adblock
detector